Weshalb glüht der Heizdraht zum Beispiel bei Kaffeemaschinen und nicht die Stromleitung?

Der Heizdraht ist viel dünner als eine Stromleitung und wird deshalb leichter warm.

Eine Starkstromleitung wird allerdings auch recht warm, so 70-80°C.

Neben der Dicke des Stromleiters spielt auch deren Widerstand eine Rolle. Wärme ist ja physikalisch gesehen ein mehr oder weniger heftiges "Zittern", Bewegen, aneinander Anstoßen von Molekülen, Atomen:
http://www.science.lu/de/content/was-ist...-%C3%BCberhaupt
Stromleitungen sollen ja möglichst nicht warm werden, denn Wärmeerzeugung ist ja gleichbedeutend mit Energieverlust. Kupferleitungen haben eine innere Atomstruktur, die Elektronen, also dem Strom vergleichsweise wenig Widerstand entgegensetzt, die Elektronen "rammen" also relativ selten Kupferatome, weshalb die Bewegungsenergie der Elektronen pro Längeneinheit der Kupferleitung relativ gut erhalten bleibt.
In einem Heizdraht ist der innere Widerstand erheblich höher, so dass die Elektronen des Stromes die Atome, Moleküle des Drahtes erheblich öfter "rammen" und so (viel mehr) Energie in Form von Wärme entsteht. Das kann in den Wolframdrähten von echten Glühlampen bis zur Weissglut gehen.